বীজগাণিতিক সমস্যাবলি:

  বীজগাণিতিক সমস্যাবলি:

১. f(x)=x²-4x+4 হলে, f(2) এর মান নিচের কোনটি?

ক) 4    খ) 2    গ) 1    ঘ) 0
উত্তরঃ ঘ

২. ½{(a+b)²-(a-b)²} এর মান নিচের কোনটি?

ক) 2(a²+b²)    খ) a²+b²    গ) 2ab    ঘ) 4ab
উত্তরঃ গ

৩. x+2/x=3 হলে, x³+8/x³ এর মান কত?

ক) 1    খ) 8    গ) 9    ঘ) 16
উত্তরঃ গ

৪. p⁴+p²+1 এর উৎপাদকে বিশ্লেষায়িত রূপ নিচের কোনটি?

ক) (p²-p+1)(p²+p-1)    খ) (p²-p-1)(p²+p+1)
গ) (p²+p+1)(p²+p+1)    ঘ) (p²-p-1)(p²-p+1)
উত্তরঃ ঘ

৫. যদি x=2-√3 হয়, x³ তবে এর মান কত?

ক) 1    খ) 7-4√3   
গ) 2+√3    ঘ) 1/(2-√3)
উত্তরঃ খ

৬. f(x)=x²-5x+6 এবং f(x)=0 হলে x=কত?

ক) 2,3    খ) -5,1    গ) -2,3    ঘ) 1,-5
উত্তরঃ ক

৭. 9x²+16y²এর সাথে কত যোগ করলে পূর্ণপবর্গ রাশি হবে?

ক) 6xy    খ) 12xy    গ) 24xy    ঘ) 144xy
উত্তরঃ গ

x⁴-x²+1=0 হলে, নিচের ৮-১০ নং প্রশ্নের উত্তর দাও।

৮. x²+1/x² এর মান কত?

ক) 4    খ) 2    গ) 1    ঘ) 0
উত্তরঃ গ

৯. (x+1/x)² এর মান কত?

ক) 4    খ) 3    গ) 2    ঘ) 0
উত্তরঃ খ

১০. x³+1/x³ এর মান কত?

ক) 3    খ) 2    গ) 1    ঘ) 0
উত্তরঃ ঘ

১১. a²+b²=9 এবং ab=3 হলে

(i) (a-b)²=3    (ii) (a+b)²=15   (iii)  a²+b²+a²b²=18

নিচের কোনটি সঠিক?

ক) i, ii খ) i, iii  গ) ii,iii    ঘ) i,  ii,  iii
উত্তরঃ ঘ

১২. 3a⁵-6a⁴+3a+14 একটি বীজগাণিতিক রাশি হলে-

(i) রাশিটির চলক a   (ii) রাশিটির মাত্রা 5    (iii) a⁴ এর সহগ 6

নিচের কোনটি সঠিক?

ক) i, ii খ) i, iii  গ) ii,iii    ঘ) i,  ii,  iii
উত্তরঃ ঘ

১৩. p³-1/64 এর উৎপাদক-

(i) p-1/4    (ii) p²+p/4+1/8   (iii) p²+p/4+1/16

নিচের কণটি সঠিক?

ক) i, ii খ) i, iii  গ) ii,iii    ঘ) i,  ii,  iii
উত্তরঃ খ

১৪. ক একটি কাজ p দিনে করে এবং খ 2p দিনে করে। তারা একটি কাজ আরম্ভ করে এবং কয়েকদিন পর ক কাজটি অসমাপ্ত রেখে চলে যায়। বাকি কাজটুকু খ r দিনে শেষ করে। কাজটি কত দিনে শেষ হয়েছিল?

সমাধানঃ
ধরি, কাজটি করতে সময় লাগে x দিন।
∴  খ একা কাজ করে r দিন এবং ক ও খ একত্রে করে (x-r) দিনে।
ক একদিনে করে  কাজটির				1 --   অংশ p
খ একদিনে করে  কাজটির				1 --   অংশ 2p
ক ও খ একদিনে করে  কাজটির						1 -- p	+	1 -- 2p
				=		3  ----   অংশ 2p
∴ক ও খ (x-r) দিনে করে  কাজটির						3(x-r) --------  অংশ   2p
খ একা r দিনে করে কাজটির						r -----  অংশ 2p
প্রশ্নমতে,	[(ক+খ) এর (x-r) দিনের কাজ]+ খ এর r দিনের কাজ]=সম্পূর্ণ কাজ।
বা,	3(x-r) ------      +   2p				r --     =    1 2p
বা,	3(x-r)+r ----------   =   1    2p
বা,	3x-2r = 2p
বা,	3x = 2p+2r
বা,	x =	2(p+r) -------    3
∴   কাজটি শেষ  হয়েছিল			2(p+r) ---------   দিনে     3

১৫. দৈনিক 6 ঘণ্টা পরিশ্রম করে 10 জন লোক একটি কাজ 7 দিনে করতে পারে। দৈনিক কত ঘণ্টা পরিশ্রম করে 14 জন 6 দিনে ঐ কাজটি করতে পারবে?

সমাধানঃ

10 জন লোকে একটি কাজ 7 দিনে শেষ করে দৈনিক 6 ঘণ্টা পরিশ্রম করে
∴1 জন লোকে একটি কাজ 1 দিনে শেষ করে দৈনিক =6✕10✕7=420 ঘণ্টা পরিশ্রম করে
∴14 জন লোকে একটি কাজ 6 দিনে শেষ করে দৈনিক 420/(6✕14)=5 ঘণ্টা পরিশ্রম করে

১৬. মিতা একটি কাজ 10 দিনে করতে পারে। রিতা সে কাজ 15 দিনে করতে পারে। তারা একত্রে কত দিনে কাজটি শেষ করতে পারবে?

সমাধানঃ

মিতা 10 দিনে করতে পারে 1 বা সম্পূর্ণ অংশ
∴মিতা 1 দিনে করতে পারে কাজটির 1/10 অংশ
আবার,
রিতা 15 দিনে করতে পারে 1 বা সম্পূর্ণ অংশ
∴রিতা 1 দিনে করতে পারে কাজটির 1/15 অংশ
∴তারা একত্রে একদিনে করতে পারে (1/10+1/15)=3/30+2/30=5/30=1/6 অংশ
অতএব,
তারা একত্রে কাজটির 1/6 অংশ করে 1 দিনে
∴তারা একত্রে পুরো বা 1 অংশ করে 6/1=6 দিনে।  

১৭. বনভোজনে যাওয়ার জন্য 5700 টাকায় একটি বাস ভাড়া করা হলো এবং শর্ত হলো যে, প্রত্যেক যাত্রী সমান ভাড়া বহন করবে। 5 জন যাত্রী না যাওয়ায় মাথাপিছু ভাড়া 3 টাকা বৃদ্ধি পেল। বাসে কতজন যাত্রী গিয়েছিল।

সমাধানঃ
	মনে করি, বনভোজনে যাওয়ার জন্য আগ্রহী যাত্রী সংখ্যা=x
∴	মাথা পিছু ভাড়া হত			5700   x		টাকা
∴	5 জন না আসায় যাত্রী সংখ্যা x-5
∴	মাথা পিছু ভাড়া হল			5700   x-5		টাকা
প্রশ্নমতে,
	5700  x-5	=	5700   x	+	3
বা,	5700  x-5	-	5700    x	=	3
বা,	x.5700-(x-5).5700       (x-5)x			=	3
বা,	5700(x-x+5)     x(x-5)			=	3
বা,	5700✕5   x(x-5)			=	3
বা,	1900✕5    x2-5x			=	1
বা,	x2-5x = 9500
বা,	x2-5x-9500=0
বা,	x2-100x+95x-9500 = 0
বা,	x(x-100)+95(x-100)=0
বা,	(x-100)(x+95)=0
	তাহলে, x=100; -95 গ্রহনযোগ্য নয় কারন যাত্রী সংখ্যা ঋণাত্বক হতে পারে না। অতএব, বাসে গিয়েছিল (100-5) =95 জন যাত্রী।

১৮. একজন মাঝি স্রোতের প্রতিকূলে p ঘণ্টায় d কিমি যেতে পারে। স্রোতের অনুকুলে ঐ পথ যেতে তাঁর q ঘণ্টা লাগে। স্রোতের বেগ ও নৌকার বেগ কত?

সমাধানঃ

স্রোতের প্রতিকূলে p ঘণ্টায় যায় d কিমি পথ
∴স্রোতের প্রতিকূলে 1 ঘণ্টায় যায় d/p কিমি পথ
আবার,
স্রোতের অনুকূলে q ঘণ্টায় যায় d কিমি পথ
∴স্রোতের প্রতিকূলে 1 ঘণ্টায় যায় d/q কিমি পথ
মনে করি, স্রোতের বেগ ঘন্টায় y কিমি পথ
এবং স্থির পানিতে নৌকার বেগ x কিমি।
প্রশ্নমতে,
x+y=d/q………………..(i)
x-y=d/p………………….(ii)
এখন, (i)+(ii) করে পাই,

	প্রশ্নমতে,
	x+y	=	d q	…………..(i)
	x-y	=	d p	…………(ii)
	(i)+(ii)	করে পাই,
	2x	=	d q	+	d p
বা,	x	=	d 2q	+	d 2p
		=	d 2	( 1/q+1/p )
	(i)-(ii)	করে পাই,
	2y	=	d q	-	d p
বা,	y	=	d 2q	-	d 2p
		=	d 2	( 1/q-1/p )
∴নৌকার বেগ			d 2	( 1/q+1/p )		কিমি
∴স্রোতের বেগ			d 2	( 1/q-1/p )		কিমি

১৯. একজন মাঝির দাঁড় বেয়ে 15 কিমি যেতে এবং সেখান থেকে ফিরে আসতে 4 ঘণ্টা সময় লাগে। সে স্রোতের অনুকুলে যতক্ষনে 5 কিমি যায়, স্রোতের প্রতিকূলে ততক্ষনে 3 কিমি যায়। দাড়ের বেগ ও স্রোতের বেগ নির্ণয় কর।

সমাধানঃ মনে করি, দাঁড়ের বেগ ঘন্টায় x কিমি এবং নৌকার বেগ ঘণ্টায় y কিমি।
প্রশ্নানুসারে,
	15 ---- x+y	+	15 ---- x-y		=	4
বা,	15(x-y)+15(x+y)  ----------------------     (x+y)(x-y)					=	4
বা,	15x-15y+15x+15y=4(x+y)(x-y)
বা,	30x=4(x2-y2)
বা,	15x=2(x2-y2)     ……(i)
আবার,
	5 --- x+y	=	3 --- x-y
বা,	5x-5y=3x+3y
বা,	5x-3x=3y+5y
বা,	2x=8y
বা,	x=4y…………………(ii)
	x এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,
	15✕4y=2{(5y)2-y2}
বা,	60y=2(16y2-y2)
বা,	60y=30y2
বা,	2=y
	∴y=2
	এবং x=4✕2=8

২০. একটি চৌবাচ্চায় দুইটি নল সংযুক্ত আছে। প্রথম নল দ্বারা চৌবাচ্চাটি  t₁ মিনিটে পূর্ণ হয় এবং দ্বিতীয় নল দ্বারা t₂ মিনিটে খালি হয়। নল দুইটি একত্রে খুলে দিলে খালি চৌবাচ্চাটি কতক্ষনে পূর্ণ হবে?(এখানে, t₁>t₂)

সমাধানঃ

১ম নল দ্বারা, t₁ মিনিটে পূর্ণ হয় 1 বা সম্পূর্ণ ট্যাংক
১ম নল দ্বারা, 1 মিনিটে পূর্ণ হয় ট্যাংকের 1/t₁ অংশ
আবার,
২য় নল দ্বারা, t₂ মিনিটে খালি হয় 1 বা সম্পূর্ণ ট্যাংক
২য় নল দ্বারা, 1 মিনিটে খালি হয় ট্যাংকের 1/t₂ অংশ
দুইটি নল একত্রে খুলে দিলে 1 মিনিটে পূর্ণ হয়=(1/t₁-1/t₂) বা, (t₂-t₁)/t₁t₂ অংশ ট্যাংক।
এখন,
(t₂-t₁)/t₁t₂ অংশ ট্যাংক পূর্ণ হয় 1 মিনিটে
∴ 1 অংশ ট্যাংক পূর্ণ হয় t₁t₂/(t₂-t₁) মিনিটে।
∴ নির্ণেয় ট্যাংকটি t₁t₂/(t₂-t₁) মিনিটে পূর্ণ হবে।

২১. একটি নল দ্বারা 12 মিনিটে একটি চৌবাচ্চা পূর্ণ হয়। অপর একটি নল দ্বারা 1 মিনিটে তা থেকে 15 লিটার পানি বের করে দেয়। চৌবাচ্চাটি খালি থাকা অবস্থায় দুইটি নল একসঙ্গে খুলে দেওয়া হয় এবং চৌবাচ্চাটি 48 মিনিটে পূর্ণ হয়। চৌবাচ্চাটিতে কত লিটার পানি ধরে?

সমাধানঃ

মনে করি, প্রথম নল দ্বারা প্রতি মিনিটে x লিটার পানি প্রবেশ করে এবং চৌবাচ্চাটিতে মোট y লিটার পানি ধরে।
প্রশানুসারে,
১ম নল দ্বারা 12 মিনিটে খালি চৌবাচ্চাটি পূর্ণ হয়।
∴y=12x
            y

বা, x = -----........(i)

           12
আবার, দুইটি নল দ্বারা 48 মিনিটে খালি চৌবাচ্চাটি পূর্ণ হয়।
∴y=48x-48✕15…………(ii)
x  এর মা (ii) নং এ বসাই,
            y

y=48✕------ - 48✕15

           12
বা,  y=4y-720
বা,  y-4y=-720
বা,  -3y=720
বা,  3y=720
বা,  y=240
∴চৌবাচ্চাটিতে মোট 240 লিটার পানি ধরে।

২২. ক, খ ও গ এর মধ্যে 260 টাকা এরূপে ভাগ করে দাও যেন ক এর অংশের 2 গুণ, খ এর অংশের 3 গুণ এবং গ এর অংশের 4 গুন পরস্পর সমান।

সমাধানঃ

মনে করি, ক এর অংশ✕2=খ এর অংশ✕3=গ এর অংশ✕4=x টাকা।
∴ ক এর অংশ=x/2 টাকা
খ এর অংশ=x/3 টাকা
গ এর অংশ=x/4 টাকা
প্রশ্নানুসারে,
x/2+x/3+x/4=260
বা,  (6x+4x+3x)/12=260
বা,  13x/12=260
বা,  13x=260✕12
বা,  13x=3120
বা,  x=3120/13
বা,  x=240
∴ ক এর অংশ=240/2=120 টাকা
খ এর অংশ=240/3=80 টাকা
গ এর অংশ=240/4=60 টাকা।

২৩. একটি দ্রব্য x% ক্ষতিতে বিক্রয় করলে যে মূল্য পাওয়া যায়, 3x% লাভে বিক্রয় করলে তাঁর চেয়ে 18x টাকা বেশি পাওয়া যায়। দ্রব্যটির ক্রয়মূল্যা কত?

সমাধানঃ

মনে করি, দ্রব্যটির ক্রয়মূল্য 100 টাকা
তাহলে, x% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য (100-x) টাকা
আবার, 3x% লাভে বিক্রয়মূল্য=(100+3x) টাকা
∴পূর্বাপেক্ষা বিক্রয়মূল্য বেশি
=(100+3x)-(100-x) টাকা
=(100+3x-100+x) টাকা
=4x টাকা
এখন,
বিক্রয়মূল্য 4x টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য 100 টাকা
বিক্রয়মূল্য 1 টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য 100/4x=25/x টাকা
বিক্রয়মূল্য 18x টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য (18x*25)/x =450 টাকা
∴ দ্রব্যটির ক্রয়মূল্য 450 টাকা।